《数学思维导论》

书籍评分：⭐⭐⭐⭐

如果你掌握的仅仅是工具，早晚有一天会被工具替代。

这是一本比较薄的小书，作者是写给那些大学新生，作为中学到大学的过渡课程。当然，任何对数学感兴趣的人都可以看一看，如果你有了一定的数学基础，应该很快就能翻完。

正如书名所言，作者无意讲述艰深的数学知识，主要是要传达一种数学思维和数学思想。书中涉及的数学知识确实比较简单，很多东西高中我们就学过了，但是背后的思想却不简单。作者介绍了一些数学的基本概念， 比如逻辑词汇（数学语言）、整数、实数、什么是证明以及如何进行证明，并希望通过这些例子告诉大家数学家们是如何思考和解决问题的。我看的比较快，有些直接跳过了。但是温故知新，还是有一些收获和感悟：

• 作者在第三章讲证明的时候特别提到了这么一句话：“在数学中，真实性是通过构造一个证明来确立的”。这句概括非常好，读完有种豁然开朗的感觉，虽然我所理解的数学确实就是这个样子的，但一句简洁、精炼的概括，还是很有力量，让我更深刻地理解数学王国的底层是什么，是如何构建的。

• 在第四章，作者说：“数来自于两种不同的人类认知概念的形式化：计数和测量”。很自然地可以想到，计数对应自然数，测量对应有理数。这句总结我也很喜欢，背后蕴含着丰富的“历史感”。这里还有一个事实是作者提到但我之前并没有意识到的：对于测量来说，有理数是足够的，可以实现任意精度的测量。所以仅仅从测量的需求出发，人类并不需要发明无理数，无理数纯因数学而生。

我最喜欢的部分还不是上面这些，而是作者关于数学的一些精彩讨论，这部分内容主要集中在开头和第一章，讨论的话题包括：数学是什么，数学有什么用，21世纪人才需要具备什么样的数学知识。

数学是什么？对于绝大多人来说，这个问题都过于抽象，而我恰恰觉得，抽象是数学的灵魂。但抽象并不代表不实际，正如作者所说，数学已经在你看不到地方渗透到现代生活的方方面面。特别是整个互联网的底层技术，哪一样没有数学的影子呢？数学是一门非常精确的语言，也是一门穿越时空的语言。人类语言总会有各种各样的歧义性，充满了误解和不确定性，我们需要人的常识和表达的上下文来判断人类语言的真实意思，即使如此，不确定性也常常存在，这也是NLP(自然语言处理)困难的原因之一。数学语言没有自然语言的这些缺点，数学家用这门严谨、精确的语言描述着世界的本质。如果真的有外星人，他们有一天来到地球，看到人类遗留下来的各种符号，他们最容易破解的应该是“数学语言”。

在讨论数学是什么的时候，作者不免简短地讲述了数学的历史，因为过去的数学和现代的数学已经不完全是一回事。从19世纪开始，数学在专业数学圈中发生了一个重要的转变：“数学家从把数学看做是计算性的，转变成看作是概念性的”。我们现在在大学中学习的数学课程实际上已经充满了这种“概念性”的数学，非数学的理工科专业也会学习很多抽象的概念，比如人尽皆知的 ϵ−δ 语言，这个东西在实际的工程应用中根本用不到。作者说，大学课程中发生这种转变是从20世纪50年代开始的。那么问题来了，这些看起来实际应用价值不大的东西，为什么大学生需要掌握，甚至像作者书中说的，21世纪的新型人才，哪怕是在工业界，都应该学习和掌握？这个问题，归根结底是在问：数学有什么用。

计算性数学的价值已经毋庸多言，因为它比较直观，大家容易看得到，那概念性的数学呢？

首先，从务虚的角度看，作者说：人活着并不是为了工作和职业。数学应该被当作一种艺术一样，作为人类文明的瑰宝被代代相传。从这个角度看，数学不需要所谓的“有用”，就像艺术一样。

其次，从务实的角度看，我们一样需要掌握这种概念性的数学，因为时代已经变了。互联网时代，人人都知道创新的重要性，人人都意识到了这个世界的变化有多么快。但是创新从哪里来呢？

作者所说的第二类人，就是掌握概念性数学的人。 他们在拿到一个新问题后，能够用数学的方法识别和描述该问题的关键特征，并用数学化的描述精确分析这个问题。

所以说，19世纪发生在数学家圈子内的革命，20世纪50年代发生在大学课程中的数学革命，势必也要发生在21世纪的新型人才中。人人谈内卷的时代，人人恐惧被人工智能替代的时代，这一点认识显得尤为重要。
完成
如果你掌握的仅仅是工具，早晚有一天会被工具替代。但是数学，并不只是计算性的工具。最后，还是贴上伽利略的名言，向伟大的数学致敬：

The great book of nature can be read only by those who know the language in which it was written. And this language is mathematics. —— Galileo